Cuando necesitamos analizar un proceso cualquiera, es necesario tomar una muestra de datos del proceso en cuestión y a partir de los mismos obtener sus características tales como la media, la mediana, la moda, la desviación estándar, el rango, etc., también es necesario saber el tipo de distribución de probabilidad que tiene, así como también es necesario visualizar de forma objetiva el comportamiento de los datos al ser graficados de diversas formas, todo lo anterior es posible gracias a la estadística descriptiva.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:
1. Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.
Ejemplos:
x® Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado.
x®0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, etc. burbujas por envase
x®Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos.
x®0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote
x®Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos.
x®0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad
Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.
2. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Ejemplos:
x®Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas
x®5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96
x®Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto
x®20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0
x®Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral
x®14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8
Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario, una forma de distinguir cuando se trata de una variable continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no cumple, etc, etc.
Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser.
1) Distribución de probabilidad discreta.
2) Distribución de probabilidad continua.
Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a continuación:
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.
Características:
- Es generada por una variable discreta (x).
x®Variable que solo toma valores enteros
x®0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.
2. p(xi)³0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.
3.Sp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA.
Características:
- Es generada por una variable continua (x).
x® Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios.
x® 1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,¥
- f(x)³0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II.
3.
CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA
1. Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
m = media de la distribución
E(x) = valor esperado de x
xi = valores que toma la variable
p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x
Donde:
s = desviación estándar
m = media o valor esperado de x
xi = valores que toma la variable x
p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x
Ejemplos:
- Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.
Solución:
Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;
N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso
S = sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso
N
S
d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}
x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso
x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso
p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008
p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)=
=0.001176
p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624
p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192
Por tanto la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:
m =E(x) =
0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=
La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.
±0.24972±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.Interpretación:
En este experimento se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso y la variabilidad de este experimento es de cero.
Nota:
La media y la desviación estándar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta.
- Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.
Solución:
También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral d
a)
D = objeto defectuoso
N = objeto no defectuoso
d={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
Este espacio muestral ha sido obtenido haciendo uso de un diagrama de árbol,
x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados
x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos
p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729
p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243
p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027
p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001
Distribución de probabilidad
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(x) | 0.729 | 0.243 | 0.027 | 0.001 |
(0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)= = 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 = 0.3 @0 productos defectuosos
Interpretación:
Se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso.
=± 0.6 =± 1 producto defectuoso
Interpretación:
En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en ± 1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.
- Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.
Solución:
Se obtiene el espacio muestral d, de la misma forma que se ha hecho en los ejemplos anteriores;
B = se puede el pozo que se perfora
N = no se puede beneficiar el pozo que se perfora
d= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}
x = variable que nos define el número de pozos que se pueden beneficiar
x = 0, 1, 2 o 3 pozos que se pueden beneficiar
p’(x = 0) = p(NNN) = (0.7)(0.7)(0.7)= 0.343
p(x = 1) = p(BNN, NBN, NNB) = (0.3)(0.7)(0.7)(3)=0.441
p(x = 2) = p(BBN, BNB, NBB) = (0.3)(0.3)(0.7)(3)=0.189
Interpretación:
La cantidad esperada de pozos que se pueden beneficiar puede variar en 1 ± 1 pozo, esto es la cantidad de pozos que se pueden beneficiar puede variar de 0 a 2 pozos.
- La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p(x) | 0.41 | 0.37 | 0.16 | 0.05 | 0.01 |
a) Determine la distribución de probabilidad acumulada de x; P(x).
b) Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos por cada 10 metros de tela .....
c) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren como máximo 2 defectos.
d) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por lo menos 2 defectos.
Solución:
a)
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p(x) | 0.41 | 0.37 | 0.16 | 0.05 | 0.01 |
| P(x) | 0.41 | 0.78 | 0.94 | 0.99 | 1.0 |
b)
Interpretación:0.16, 0.05 ,0.01
Interpretación:
El número de defectos esperado puede variar en ± 1 defecto, es decir que el número de defectos esperado por cada 10 metros de tela puede variar de 0 a 2.
c) p(x £ 2)= p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) = 0.41+0.37+0.16 = 0.94
d) p(x ³ 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = 0.16 + 0.05 + 0.01= 0.22
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